求证斐波那契数列的通项公式（母函数求斐波那契数列）
斐波那契数列通项公式：
斐波那契数列通项公式
可以由母函数推导得到，过程如下：
首先，我们不知道数列的母函数，先按照定义假设一个母函数
定义母函数
如上图，Fi为数列的项，i为下标，数列为母函数的各项系数，各项指数和i相同，因为是无限级数，所以定义一个无穷小量O(x)，当x次数足够大的时候，此项就足够接近于零，前提是x是零附近的实数，按照数列的定义，每一项为前两项之和，我们来构建每一项与前两项的差值，从而利用到这个性质，看看有什么结果
既然要构建系数差值，那么就需要次数相同的项，那么前两项就要乘以x和x的平方，如下：
构建相同次数的系数关系
观察可以看见，可以使用这三个多项式相加减，构造形如Fn-1，Fn，Fn-2的关系
构造三者关系
这样，就构造出了连续三项之间的关系，显然，直到无穷项，大部分系数其实都等于零，基于斐波那契数列的定义
消除了无穷项
显然，F0=0，F1=1，F2=1，代入可得：
化简
次数越高，无穷小量就越接近零，我们使用FG代表无穷级数，那么就有FG*(x^2+x-1)=-x，无穷小量就直接是零了
母函数的表达式
这里假设分母x^2+x-1的根为r和s，那么，母函数可以写成如下形式
使用根来定义母函数
想办法把r和s分开
之所以要把r和s分开，是因为分开后，可以分别做泰勒展开
泰勒展开结果
这样，我们就得到了每一项系数使用r和s的表达结果，规律很容易看出来
系数通项公式即为数列通项公式
我们来验证一下，r和s为x^2+x-1的两个根，解一下
解方程
给r和s赋值
看数列前5项：
计算数列前几项
好像有什么奇怪的东西混进来了，不怕，mma给的是精确的结果，我们把结果化简
前10项和数列一致
那通项公式呢
通项公式化简
好像怎么化简都得不到网上的标准格式，不怕，我们来验证两种格式是否等价即可
两种格式等价
n在自然数内，可以使得Fn和标准格式的通项公式相等，推导过程到此结束。
生成函数的数学推导过程
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